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青少年信息学(计算机)竞赛:程序设计的基本方法(2)

来源:合肥奥数网整理   作者:合肥奥数网编辑   2013-10-17 14:30:34

  (2) 细化“number取下一个值”:

  number:=number+1;

  第三步:细化“number能被k整除”及“k达到lim”。

  (1) 细化“number能被k整除”:

  number mod k=0;

  (2) 细化“k达到lim”:

  k<=lim;

  第四步:补充完整程序。

  第五步:从所有的素数除了2之外都是奇数的角度出发优化程序。

  程序设计步骤:

  1.分析问题: 对要解决的问题,首先必须分析清楚,明确题目的要求,列出所有已知量,找出题目的求解范围、解的精度等。例“第10周练习”第7题——兔子 的繁殖问题,必须找出其繁殖规律。

  2.建立数学模型: 对实际问题进行分析之后,找出它的内在规律,就可以建立数学模型。只有建立了模型的问题,才能可能利用计算机来解决。如上例,可推出递 推公式u[n]=u[n-1]+u[n-2](这是菲波那契数列)

  3.选择算法: 建立数学模型后,还不能着手编程序,必须根据数据结构,解决问题的算法。一般选择算法要注意:

  (1) 算法的逻辑结构尽可能简单;

  (2) 算法所要求的存贮量应尽可能少;

  (3) 避免不必要的循环,减少算法的执行时间;

  (4) 在满足题目条件要求下,使所需的计算量最小。

  4.编写程序: 把整个程序看作一个整体,先全局后局部,自顶向下,一层一层分解处理,如果某些子问题的算法相同而仅参数不同,可以用子程 序来表示。

  5.调试运行;

  6.分析结果;

  7.写出程序的文档: 主要是对程序中的变量、函数或过程作必要的说明,解释编程思路,画出框图,讨论运行结果等。

  8.例1:输入奇数n,计算并输出n位的魔方阵。

  说明:

  (1) 魔方阵就是n*n个不同的正整数按方阵排列时,它的每一行,每一列以及沿对角线的几个数的和具有同一性质的方阵。

  (2) 由1到n*n个自然数数构成的魔方阵是最基本的,又称为“幻方”,这种方阵的每行、每列和每个对角线上的元素的和全部相等,亦即等于一个 常数。该常数是n(n*n+1)/2 。

  (3) 方法: 首先确定1的位置,通常放在第一行的中间位置; 然后当前自然数的右上方放下一个自然数; 如果当前自然数在第一行但不在最右侧

  ,则下一个自然数在最后一行,列数右移一列; 如果当前自然数在第一行最右侧,则下一个自然数在当前自然数的下侧; 如果当前自然数在其 它行的最右侧,则下一个自然数在上一行的最左侧。

  9.例2:任何一个整数的立方都可以写成一串奇数之和。

  说明:

  (1)这是著名的尼科梅切斯定理。即 1^3=1 2^3=3+5=8 3^3=7+9+11=27 ……

  (2)数据间关系的规律:

  n^3是n个奇数之和,如2^3是2个奇数之和,3^3是3个奇数之和;

  这n个奇数是相邻的,只要知道各式的第一个奇数也就知道所有的n个奇数: 组成1^3的1个奇数是奇数序列中的第1个奇数; 组成2^3的2个奇数中最大的奇数是奇数序列中的第3(3=1+2)个奇数(值为5); 组成3^3的3个奇数中最大的奇数是奇数序列中的第6(6=1+2+3)个奇数(值为11); 由此推出:

  组成n^3的n个奇数中最大的奇数是奇数序列中的第m(m=1+2+3+...+n)个奇数,即: m=n(n+1)/2

  奇数序列中第m个奇数的值是:modd=2m-1 modd表示“第m个奇数”,是组成n^3的奇数序列中最大的一个奇数。 例如,第2个奇数是3,第6个奇数是11。

  n^3=modd+(modd-2)+(modd -4)+...(modd -2(n-1))

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